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引言
霧狀流是一種特殊的氣液兩相流，其中氣相占絕大部分為連續(xù)相，液相僅占一小部分并以離散形式分布于氣相之中[1]。智能渦街流量計(jì)應(yīng)用廣泛，有時(shí)由于條件的變化，智能渦街流量計(jì)測(cè)量的流體會(huì)為霧狀流。例如，天然氣從地下開(kāi)采時(shí)會(huì)攜帶少量液體；蒸氣由于溫度降低會(huì)部分液化。在以上這些情況發(fā)生時(shí)被測(cè)氣體變?yōu)殪F狀流，從而引起智能渦街流量計(jì)的測(cè)量誤差。對(duì)于Venturi流量計(jì)由于其原理簡(jiǎn)單，已有很多成熟的多相流模型[2-3]，與Venturi流量計(jì)不同，雖然渦街流量計(jì)已用于多相流測(cè)量，但由于Karman渦街現(xiàn)象涉及復(fù)雜的鈍體繞流問(wèn)題[4]，很少有關(guān)于智能渦街流量計(jì)的多相流模型見(jiàn)諸于文獻(xiàn)。本文從單相流模型出發(fā)建立了霧狀流條件下的渦街流量計(jì)修正模型。
一些研究者用數(shù)學(xué)的方法描述了渦街的脫落過(guò)程。Birkhoff[5]將Karman渦街的脫落看作是魚(yú)尾的擺動(dòng)過(guò)程，用魚(yú)尾上的慣性力平衡尾跡中的水恢復(fù)力建立方程，給出了旋渦脫落模型
（1）
式中 I為慣性力，N；α為魚(yú)尾擺動(dòng)角位移，m；k為尾跡中水恢復(fù)力，N。Karman將渦街描述為一個(gè)兩列交錯(cuò)排列的渦鏈，相鄰渦的旋轉(zhuǎn)方向相反，由于渦之間的相互作用以及流體本身對(duì)流場(chǎng)的擾動(dòng)，造成渦街現(xiàn)象的不穩(wěn)定性。Karman[6]利用平均勢(shì)流理論推導(dǎo)出Karman渦街穩(wěn)定性條件，給出了出現(xiàn)穩(wěn)定Karman渦街現(xiàn)象的條件，即
（2）
式中 h為兩列渦之間的距離，m；l為兩個(gè)相鄰渦之間的距離，m。Karman給出的渦街穩(wěn)定條件是一種理想情況，在實(shí)際條件下，會(huì)有25%的變化范圍。
Roshko[7]從測(cè)量角度，給出了在低Reynolds數(shù)范圍內(nèi)（50<Re<150），Stanton數(shù)（St）和Re之間的經(jīng)驗(yàn)公式
（3）
Berger等[8]給出了較高Reynolds數(shù)范圍內(nèi)（300<Re<15000）St和Re之間的經(jīng)驗(yàn)公式
（4）
為了描述Karman渦街旋轉(zhuǎn)區(qū)域幾何和物理參數(shù)，Karman[6]將渦街結(jié)構(gòu)與動(dòng)量方程結(jié)合，得到了渦街結(jié)構(gòu)參數(shù)隨阻力變化的關(guān)系，Ahlborn等[9]依據(jù)Karman的方法對(duì)Karman渦街模型進(jìn)行了研究，取得了很好效果。他們將Karman渦街的脫落傳播過(guò)程看作一種波的傳遞，傳遞過(guò)程遵循質(zhì)量守恒、能量守恒和動(dòng)量守恒。其研究成果揭示了Karman渦街中旋渦直徑、旋轉(zhuǎn)速度、脫落頻率、尾流尺寸以及阻力系數(shù)等多個(gè)參數(shù)之間的相互關(guān)系以及它們隨Reynolds數(shù)的變化規(guī)律。Ahlborn提出的數(shù)學(xué)模型與以往研究者的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)具有較好的一致性，適用條件廣，預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性高。
本文在A(yíng)hlborn的研究基礎(chǔ)上，從能量守恒的角度出發(fā)，對(duì)霧狀流中渦街的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)進(jìn)行了研究，包括液相與氣相的相互作用以及液相在旋渦中運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，zui后建立了霧狀流中渦街傳遞的能量守恒方程，推導(dǎo)出St隨液相含率變化的關(guān)系，建立了智能渦街流量計(jì)霧狀流測(cè)量的修正模型。
1 波傳遞理論
1.1 旋渦發(fā)生體受力分析
黏性流體在經(jīng)過(guò)旋渦發(fā)生體時(shí)，發(fā)生體會(huì)受到流體的壓強(qiáng)和切向應(yīng)力的作用，這些力的合力一般可分解為與來(lái)流方向一致的阻力Fd和垂直于來(lái)流方向的升力F1，如圖1所示。
圖1 渦街發(fā)生體受力
根據(jù)Tomson定律，渦街發(fā)生體后產(chǎn)生一個(gè)旋渦時(shí)，會(huì)在其他地方相應(yīng)產(chǎn)生一個(gè)方向相反的環(huán)量，以保證合環(huán)量為零。根據(jù)Zhukovski[10]的升力理論，由于這個(gè)環(huán)量的存在，會(huì)在旋渦發(fā)生體上產(chǎn)生升力Fl，該升力垂直于來(lái)流方向。作用在旋渦發(fā)生體上單位長(zhǎng)度的升力為
（5）
式中 cl為升力系數(shù)；ρ為流體密度，kg•m-3；U為來(lái)流流速，m•s-1；D為旋渦發(fā)生體截流面寬度，m。
由于Fd與流體運(yùn)動(dòng)方向相反，起著阻礙流體運(yùn)動(dòng)的作用所以稱(chēng)為阻力。阻力可分成兩部分：一部分是由于流體的黏性在渦街發(fā)生體表面上的切向應(yīng)力形成的摩擦阻力；另一部分是由于邊界層分離，物體前后形成壓強(qiáng)差而產(chǎn)生的壓差阻力。摩擦阻力遠(yuǎn)小于壓差阻力可忽略，因此對(duì)于旋渦發(fā)生體，其阻力用式（6）計(jì)算
（6）
式中 cd為阻力系數(shù)。
1.2 基于波傳遞的渦街機(jī)械能守恒
Ahlborn將渦街的傳遞看作是一種波的傳遞，傳遞過(guò)程中遵守能量守恒，如圖2所示，其中一個(gè)波長(zhǎng)包括兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向相反的渦。Ahlborn認(rèn)為Karman渦街在以波的形式傳播過(guò)程中，其傳播能量可以看作是由旋渦發(fā)生體截流面上阻力做功所提供[7]。整個(gè)截流面上的阻力FD為單位長(zhǎng)度上的阻力與截流面面積A的乘積，表達(dá)式為
（7）
式中 H為旋渦發(fā)生體的徑向高度，m。
圖2 Karman渦街結(jié)構(gòu)
波長(zhǎng)用式（8）計(jì)算，其中f為旋渦脫落的頻率
（8）
旋渦發(fā)生體截流面上的阻力做功W為
（9）
流速和旋渦脫落的頻率具有以下關(guān)系
（10）
將式（10）代入式（9），阻力做功可以寫(xiě)為
（11）
當(dāng)Reynolds數(shù)足夠大時(shí)，在一個(gè)波長(zhǎng)的能量中，由于黏性耗散損失的能量遠(yuǎn)小于由阻力做功所產(chǎn)生的總能量，因此不考慮黏性耗散所造成的能量損失，那么阻力對(duì)流體所做的功則全部轉(zhuǎn)化成旋渦的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能Ek、渦的壓力勢(shì)能Ec以及尾流的動(dòng)能Et，如式（12）所示
（12）
其中，Ec為壓力勢(shì)能，產(chǎn)生的原因是由于旋渦內(nèi)壓力與周?chē)黧w的靜壓p∞存在一個(gè)壓力差（p-p∞），壓力差的存在可以抵消旋渦離心力的作用，它是與旋渦相關(guān)的一個(gè)參數(shù)值。根據(jù)Malkus[11]的研究，壓力勢(shì)能zui后全部轉(zhuǎn)化為旋渦的動(dòng)能，zui終轉(zhuǎn)化為流體的內(nèi)能，因此壓力勢(shì)能是與旋渦結(jié)構(gòu)有關(guān)的量，它們之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。壓力差產(chǎn)生的壓力勢(shì)能由式（13）確定
（13）
式中 V為單個(gè)旋渦體積，m3。
2 霧狀流條件下渦街模型的研究
由上面的分析可以看出，Karman渦街作為一種波傳遞時(shí)，會(huì)遵守機(jī)械能守恒，而分布在流場(chǎng)中的旋渦作為Karman渦街的表現(xiàn)形式，需要對(duì)其建立數(shù)學(xué)模型，以便對(duì)單個(gè)渦的旋轉(zhuǎn)機(jī)械能進(jìn)行計(jì)算。以往的研究者多采用已有的經(jīng)典的渦方程描述Karman渦街中的旋渦[12]，本文采用蘭金渦組合模型近似Karman渦街中的旋渦。Karman渦的旋轉(zhuǎn)速度和壓力分布與蘭金渦非常相似，在不考慮渦的黏度耗散情況下可以近似將Karman渦看作蘭金渦。
2.1 蘭金組合渦模型
蘭金組合渦是將流場(chǎng)分為兩個(gè)區(qū)域，假定在無(wú)界流體中存在一個(gè)半徑為R且無(wú)限長(zhǎng)的圓柱形渦。在旋渦內(nèi)部（r<R）為有旋渦，稱(chēng)為受迫渦；在旋渦外部（r>R）存在一個(gè)由直線(xiàn)渦感生出來(lái)的速度場(chǎng)，稱(chēng)為自由渦，自由渦為無(wú)旋渦。整個(gè)流場(chǎng)由受迫渦和自由渦組合而成，這樣的旋渦稱(chēng)為蘭金組合渦[13]。蘭金渦中速度與壓力的分布如圖3所示。
圖3 蘭金渦速度與壓力分布
把內(nèi)外部的壓力分布和速度分布對(duì)照起來(lái)看，可知內(nèi)外部的壓力與速度關(guān)系是不同的，在外部速度越大壓力越小，而在內(nèi)部速度小壓力也小。旋渦外部無(wú)限遠(yuǎn)處壓力為p∞，接近旋渦中心壓力不斷降低，在中心壓力降至zui低值，旋渦邊緣上壓力較無(wú)窮遠(yuǎn)處壓力p∞存在如式（14）所示關(guān)系，旋渦邊緣上，壓力較無(wú)窮遠(yuǎn)處壓力p∞下降了
（14）
式中 U0為流體流速，m•s-1。
2.2 連續(xù)相動(dòng)能分析
用蘭金渦組合的數(shù)學(xué)模型計(jì)算Karman渦街的旋渦動(dòng)能，其單個(gè)旋渦的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能用式（15）計(jì)算
（15）
式中 Γ為速度環(huán)量，m2•s-1；Uv為旋轉(zhuǎn)的環(huán)向速度，m•s-1，Uv/U=1/2[10]。
在一個(gè)波長(zhǎng)中，Karman渦街總的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能為
（16）
由前面對(duì)蘭金渦組合流場(chǎng)壓力的分析可知，因?yàn)?/p>
（17）
故流場(chǎng)內(nèi)的壓力勢(shì)能可用式（18）計(jì)算
（18）
因此由式（16）和式（18）可以得到Karman渦街流場(chǎng)壓力勢(shì)能與渦旋轉(zhuǎn)動(dòng)能之間的關(guān)系
（19）
2.3 離散液相動(dòng)能分析
在以氣相為連續(xù)相的流體中，加入以離散狀態(tài)分布的液相后，旋渦發(fā)生體后形成的Karman渦街尾跡中會(huì)伴有液相運(yùn)動(dòng)，液相的運(yùn)動(dòng)形式也分為旋渦的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和尾流運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡與連續(xù)相一致，因此離散相的運(yùn)動(dòng)方程與連續(xù)相的運(yùn)動(dòng)方程相同，用蘭金渦組合方程計(jì)算液相在渦街流場(chǎng)中的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能Ekl為
（20）
式中 β為霧狀流中的液相體積含率；ρl為液相密度，kg•m-3。
旋渦的中心會(huì)形成一個(gè)低壓區(qū)，使液相粒子大量地向渦核區(qū)集中而不能全部參與旋轉(zhuǎn)。c1為一個(gè)量綱1參數(shù)，用來(lái)描述旋渦中參與旋轉(zhuǎn)的液滴比率。根據(jù)剛體密度隨半徑r變化的關(guān)系：ρ∝1/r，可假設(shè)旋渦中心區(qū)液相達(dá)到飽和時(shí)有r→0，c1→0；旋渦外圍則有r→R，c1→1。因此c1可以用式（21）計(jì)算而得
（21）
式中 k為比例系數(shù)。
由圖2可知，在兩列旋渦之間會(huì)形成與主流方向相反的尾流，寬度為b。在波長(zhǎng)為λ的尾流中，連續(xù)相動(dòng)能為
（22）
霧狀流中尾流中液相的動(dòng)能可以用式（23）計(jì)算
（23）
由于壓力勢(shì)能與離心力的作用，尾流中液相含率要小于β；c2為比例系數(shù)，其值與c1近似相等。
2.4 模型的建立
以上分別對(duì)連續(xù)相和離散相在尾跡流中的動(dòng)能進(jìn)行了分析，得到了旋渦動(dòng)能、尾流動(dòng)能以及壓力勢(shì)能。zui后可以得到含有離散液相的氣體流過(guò)旋渦發(fā)生體后，尾跡中總的機(jī)械能Eλ為
（24）
其中
每個(gè)波長(zhǎng)中，總的尾跡機(jī)械能與旋渦動(dòng)能之間存在比例關(guān)系
（27）
由式（9）、式（12）、式（24）、式（27）可以得到式（28），其中R3為旋渦的折算半徑
（28）
上面的公式可以這樣理解：當(dāng)其他參數(shù)保持不變時(shí)，如果k增加那么每個(gè)波長(zhǎng)的Karman渦街中包含的機(jī)械能將提高，截流面上的阻力要做更多的功來(lái)滿(mǎn)足尾跡中所需要的能量，因此阻力系數(shù)要相應(yīng)提高。相同的道理，如果阻力系數(shù)變大，那么旋渦的直徑要相應(yīng)增加。
Ahlborn用動(dòng)量方程結(jié)合渦量方程分析了渦街的脫落過(guò)程，其中包括渦的產(chǎn)生、傳送、耗散以及對(duì)橫向流體的作用。zui后得到了式（29），式（29）反映了渦的形成、渦的耗散以及尾流的運(yùn)動(dòng)，其中N為描述渦量梯度的量綱1參數(shù)
（29）
將式（28）代入式（29），得到
（30）
其中
由式（30）可知，如果氣體中不含有離散液相時(shí)，ε=1，那么可得到單相流中高Re下，St∞與cd的關(guān)系，St∞可以看作是單相流時(shí)的Stanton數(shù)，即
（33）
由式（30）和式（33）得到了霧狀流中St隨液相體積含率的變化關(guān)系
（34）
式（34）描述了氣相中存在離散液相時(shí)，St隨液相體積含率變化的關(guān)系。從公式中可以看到，液相體積含率的增加會(huì)引起St的增加，這與實(shí)驗(yàn)中得到的結(jié)論是一致的。而且St與氣體密度呈反比，當(dāng)ρ→∞，St→St∞，表現(xiàn)在渦街流量計(jì)測(cè)量上則為連續(xù)相密度的增加能夠減小測(cè)量誤差，因此在霧狀流測(cè)量中提高流體的壓力會(huì)減小渦街測(cè)量誤差。
2.5 修正模型
渦街流量計(jì)通過(guò)式（35）計(jì)算流量Q，其中，Sp為管道截面積
（35）
將式（34）代入式（35）得到式（36）
（36）
式（36）即為渦街流量計(jì)霧狀流測(cè)量時(shí)的修正模型。
3 試驗(yàn)驗(yàn)證
3.1 試驗(yàn)裝置
為了驗(yàn)證模型的效果，在多相流裝置上進(jìn)行了試驗(yàn)，多相流試驗(yàn)裝置如圖4所示。空氣壓縮機(jī)將空氣壓縮后送入儲(chǔ)氣罐，標(biāo)準(zhǔn)流量傳感器1負(fù)責(zé)計(jì)量氣液混合前儲(chǔ)氣罐送入管道的氣體流量。蓄水罐距離地面30m，提供實(shí)驗(yàn)所需的液相流體，其流量由標(biāo)準(zhǔn)流量傳感器2測(cè)得。氣相和液相經(jīng)引射器混合后送入實(shí)驗(yàn)管段，zui后流入分離罐將水和空氣進(jìn)行分離，空氣由放氣閥排出，水由水泵送回蓄水罐循環(huán)使用。工控機(jī)對(duì)所有儀表數(shù)據(jù)進(jìn)行采集和顯示，并對(duì)兩個(gè)電動(dòng)調(diào)節(jié)閥進(jìn)行控制，調(diào)節(jié)氣相和液相的流量。
圖4 多相流試驗(yàn)裝置
3.2 液相的霧化
實(shí)驗(yàn)中離散液相的產(chǎn)生是靠氣相本身的氣動(dòng)力將液體的射流或液膜擊碎，以產(chǎn)生大量的細(xì)小液滴，這個(gè)過(guò)程是在圖5中的引射器中完成的?？諝忪F化時(shí)，液滴的平均直徑一般用Nukiyama2Tanasawa公式[13]進(jìn)行計(jì)算，其表達(dá)式為
（37）
式中 Φ為液滴直徑，m；σ為水的表面張力，N•m-1；ρf為水的密度，kg•m-3；μf為水的黏度，Pa•s；v0為氣體流速，m•s-1；Qf為水的質(zhì)量流量，kg•h-1；Qg為氣體的質(zhì)量流量，kg•h-1。
圖5 引射器原理
通過(guò)公式計(jì)算得到實(shí)驗(yàn)中液相平均直徑約為300μm。這僅是個(gè)粗略值，實(shí)際上對(duì)液滴直徑的計(jì)算不可能很，這是由于霧化的過(guò)程受很多不可控制的參數(shù)，如工況條件、噴嘴的粗糙度或噴嘴上的附著物等因素的影響[14-15]。
3.3 試驗(yàn)方法及結(jié)果
試驗(yàn)過(guò)程中保持管道里氣體的流量為141m3•h-1，水分別以01015、0103、0105、0107、0109、0111、0113m3•h-1流量值注入管道，相對(duì)于流體流量所占體積分?jǐn)?shù)分別為010106%、010213%、010355%、010496%、010638%、010780%、010922%。對(duì)不同液相流量下的渦街頻率進(jìn)行測(cè)量。以5000Hz的頻率對(duì)電荷放大器產(chǎn)生的正弦信號(hào)進(jìn)行采樣，每次采樣10組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)有104個(gè)采樣點(diǎn)，考慮到試驗(yàn)流量點(diǎn)以及液相體積含率會(huì)隨著試驗(yàn)略有變化，因此進(jìn)行了多次測(cè)量。將得到的采樣點(diǎn)進(jìn)行Fourier變換得到渦街產(chǎn)生頻率。
表1反映了渦街流量計(jì)直接測(cè)得的流量與修正模型的計(jì)算結(jié)果以及它們與真實(shí)流量值之間的誤差。比較結(jié)果表明，修正前渦街流量計(jì)測(cè)量結(jié)果與真實(shí)值相差很大，通過(guò)式（35）修正后誤差在10%以?xún)?nèi)，渦街流量計(jì)的測(cè)量誤差減小了，考慮到氣液兩相流動(dòng)的復(fù)雜性，因此誤差范圍還是令人滿(mǎn)意的。
4 結(jié)論
由于液相的加入，導(dǎo)致渦街流量計(jì)在測(cè)量霧狀流時(shí)測(cè)量誤差增加，因此需要對(duì)測(cè)量值進(jìn)行修正。本文采用蘭金渦組合模型近似霧狀流流場(chǎng)中旋渦的結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)單個(gè)渦的結(jié)構(gòu)、速度場(chǎng)以及壓力場(chǎng)進(jìn)行分析，運(yùn)用能量守恒的方法建立了霧狀流中阻力做功與渦街尾跡能量平衡方程，得到了渦街流量計(jì)St隨液相體積含率變化的數(shù)學(xué)模型，建立了渦街流量計(jì)霧狀流測(cè)量的修正模型。試驗(yàn)證明，修正結(jié)果減小了渦街流量計(jì)直接測(cè)量的誤差。該研究方法相對(duì)簡(jiǎn)單，計(jì)算方便，利于實(shí)際應(yīng)用。